浅谈数形结合与能力　　

新的历史时期，社会对人才有了新的要求，传统的教育教学模式受到了挑战，教育改革应动而生，素质教育被提上日程。素质教育的提出，要求教育工作者要对学生进行综合培养，尤其要注意学生能力的培养，“授人以渔”而不仅仅是“授人以鱼”。2000年3月出台的数学教学大纲，明确规定，数学教学的培养目标是培养学生的能力，包括逻辑思维能力、“运算能力”（不再被排在第一位）、“空间想象能力”、“分析问题、解决问题的能力”。“数形结合”只被看作是一种数学思想，事实上，数形结合本身应是一种能力。从形到数是获得信息、处理信息的能力，从数到形是抽象思维能力。　　

　　　　　　　　

A

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、什么是数形结合　　

　　

F

　　　　让我们先看两个例子。　　

　　

E

　　　　　　

C

　　　　　　

B

　　　　　　

图1

　　　　例1：在△ABC中，AB＞AC，CE、BF分别是AB及AC上的高（如图1所示），试证：AB+CF≥BE+AC.　　

证法一：因为0≤sinA≤1，所以AB-AC≥（AB-AC）sinA 　　　　　　

AB+ACsinA≥AC+ABsinA　　

故AB+CF≥BE+AC （∠A=90°时取等号）　　

证法二：由AB＞AC＞CF，AB＞BE及　 　　　　　

所以　 　　　AB－BE＞AC－CF　　

故AB+CF≥BE+AC　　

以上两种解法分别采用了三角法与代数法，借“数”证“形”，较纯几何方法更易于成功。　　

例2：已知正数，a，b，c，x，y，z满足a+x=b+y=c+z=k。　　

　　

y

　　　　　　　　　　求证：ay+bz+cx＜k²　　

　　

a、　郜aa

　　　　　　

c

　　　　　　

z

　　　　　　

b

　　　　　　

x

　　　　　　

图2

　　　　证明：如图2所示，作边长为k的三角形ABC，在其三边上分别取点P、Q、R，使AP=a，BR=b，CQ=c，则CP=x，AR=y，BQ=z。　　

由S_△APR+S_△BRQ+S_△CPQ＜S_△ABC，　　

即　 　　　＜　 　　　　　

得ay+bz+cx＜k²　　

例2的证明摆脱了数和式的束缚，不局限于对数和式的变形，构造了边长a+x，b+y，c+z（都等于k）的等边三角形，利用面积公式使不等式获证，奇妙精巧的构思令人拍案叫绝。　　

从例1、例2的解法可以看到，数形结合给数学的研究与发展注入了强大的生命力。把空间形式和数量关系结合起来解决问题的意识与方法，就是数形结合思想。　　

形是数的具体刻画和直观体现，数是形的抽象与概括，二者互为依托，不可分割。而我们研究数时，往往要将数字直观化，成为一定的图形，赤裸裸地暴露在我们面前，以便我们精确地、仔细地去感悟、去分析、去研究、去创造。从中探索出规律、得出结论、形成理论，并用理论指导以后的学习和工作；研究形时，要从形中抽象出数，借助数去研究形的性质，从中探出规律，以用于实践。　　

在中学数学中，数形结合主要体现在：　　

（1）以形辅数。通过图形语言描述数学概念、定理、公式、法则等；利用几何知识，通过对图形的研究解决数量关系问题；　　

（2）以数示形。用符号语言精确地描述图形性质，用代数、三角的方法解决图形方面的问题。　　

二、数形结合的必然性　　

恩格斯说：“数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学”。形和数是数学大厦的两大支柱，它们既是研究的对象，又是解决问题的方法。　　

我们不应将数和形分割开。华罗庚教授说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，精辟地阐明了形数分离的弊端。　　

数形结合起来，有着广泛的应用，它使很多繁杂的问题简单化，把未知的问题已知化，甚至能让我们得到意外的收获，数形结合还有利于学生发散思维的培养和空间想象力的提高。　　

三、数形结合应用的广泛性　　

运用数形结合可以顺利地解决很多问题，数形结合的思想方法也广泛应用于数学以外的其它学科的学习和研究。运动学中用数形结合去研究时间、位移、速度等的关系，研究抛物体运动的轨迹；化学中用数形结合研究化学反应速度和化学平衡的规律；统计学也是用数形结合去研究自然现象、社会现象；形态仿生学中，利用数分析形，掌握形的性质，然后加以利用，等等这一些都体现了数学这门工具性学科的地位与价值。　　

许多代数概念，都可以通过形来描述，例如绝对值、相反数、映射、子集、交集、并集、补集、函数的单调性、函数的周期性、函数的奇偶性、用三角函数线描述三角函数、复数的向量描述等等。我们不能把这些几何描述当作一种说明，而不应当作陪衬或附属，应上升到基础知识的主体地位。　　

利用三角函数线解决许多三角函数问题，常常比仅以三角函数式去解决直观得多，简捷得多。深刻理解了复数的向量描述，才能更好地掌握复数运算的几何意义（不能只作为一种解释，应该说成复数的几何形式的运算）。　　

四、数形结合的实践性　　

（一）数形结合比参数　　

　　　　　　　　

x

　　　　

y

　　　　

o

　　　　

t

　　　　

c1

　　　　

c2

　　　　

c3

　　　　

A

　　　　

B

　　　　

C

　　　　

D

　　　　

c4

　　　　　

图3

　　　　

1

　　　　　1、幂函数的指数比较。　　

图3是四种幂函数在第一象限的图象，直线x=t(t＞1)分别与曲线y=x^a，y=x^b，y=x^c，y=x^d分别交于点A、B、C、D，它们的纵坐标分别为t^a，t^b，t^c，t^d，显然t^a＞t^b＞t^c＞t^d，由于t＞1，所以a＞b＞c＞d.　　

规律：幂函数y=x^a在第一象限x＞1的部分图象从上到下，对应函数的指数依次减小。　　

2、指数函数的底数比较　　

　　　　　　　

x

　　　　

y

　　　　

c1

　　　　

c2

　　　　

c3

　　　　

c4

　　　　

A

　　　　

C

　　　　

B

　　　　

D

　　　　

t

　　　　

O

　　　　

1

　　　　　图4是四种指数函数y=a^x，y=b^x，y=c^x，y=d^x的图象。我们画直线x=1分别交四条曲线于A、B、C、D，它们的纵坐标分别为a、b、c、d，显然a＞b＞c＞d.　　

　　　　　　　

图5

　　　　

1

　　　　

x

　　　　

c1

　　　　

c2

　　　　

c3

　　　　

c4

　　　　

A

　　　　

C

　　　　

D

　　　　

y

　　　　

1

　　　　

B

　　　　　　　

图4

　　　　规律：指数函数y=a^x的图象在第一象限从上到下，对应函数的底数依次减小。　　

3、对数函数的底数比较　　

图5是四种对数函数的图象，y=log_ax，y=log_bx，y=log_cx，y=log_dx，我们画直线y=1分别交四条曲线于A、B、C、D，显然x_A＞x_B＞x_C＞x_D即a＞b＞c＞d，其中a、b＞1，c＞0，d＜1。　　

规律：对数函数y=log_ax的图象在第一象限，从左到右对应函数的底数依次增大。　　

注：利用函数图象，比较函数解析式中的参数大小，是把图形中的位置关系转化为数量上的大小关系，横轴方向上，右边的点比左边的点的横坐标大，纵轴方向上，上方的点比下方的点的纵坐标大。　　

4、椭圆的离心率比较　　

如图6，两椭圆的长轴相等而短轴不等，由于离心率　 　　　，当a不变时，b越大椭圆越圆，而离心率越小，所以椭圆越圆离心率越小且恒大于0小于1。　　

　　　　　　　　

x

　　　　

y

　　　　　

图6

　　　　　规律：椭圆越扁离心率越大，椭圆越圆离心率越小（椭圆的离心率0＜e＜1）。　　

5、双曲线的离心率比较　　

　　　　　　　

y

　　　　

o

　　　　

c1

　　　　

c2

　　　　

图7

　　　　

x

　　　　　如图7，两双曲线的实轴相等而开口大小不一样，由于开口越大渐近线的斜率越大，而渐近线的斜率　 　　　，当a一定时，b越大渐近线的斜率越大，此时双曲线的离心率越大。　　

规律：双曲线的开口越大离心率越大。　　

6、抛物线y²=2px的参数p比较　　

　　　　　　　　

x

　　　　

y

　　　　

O

　　　　

c1

　　　　

c2

　　　　

x=1

　　　　

图8

　　　　　

B

　　　　

A

　　　　　如图8，两抛物线C₁：y²=2p₁x；C₂：y²=2p₂x的顶点为坐标原点，开口大小不一样，作直线x=1交两曲线在第一象限的部分于A、B两点，显然y_A²=2p₁＞y_B²=2p₂，故p₁＞p₂，C₁的开口大于C₂的开口。　　

规律：抛物线的开口越大方程y²=2px中p越大。　　

注：数形结合比较曲线的特征参数，不利用曲线间的差异（圆或扁的程度、开口的大小）找出参数的差异，得出大小关系。　　

（二）数形结合解方程　　

1、求方程的近似值　　

有些方程，用初等数学的知识很难解，而利用数形结合去求方程的近似解比较方便。　　

例3：求方程x+lgx=3的近似解。　　

　　　

图9

　　　　　　　　　

y=lgx

　　　　

y=3－x

　　　　

y

　　　　

O

　　　　　　分析：求解方程，可以把方程的根设计成两个初等函数的图象的交点的横坐标来求。　　

解：将x+lgx=3化为lgx=3-x　　

在同一坐标系内画y= lgx及y=3-x的图象，求得交点的横坐标x≈2.6（如图9）。这个x近似满足方程lgx=3-x，所以它就是方程x+lgx=3的近似解。　　

2、判断方程根的个数　　

有的方程很复杂，初等数学不能解，只能用数形结合去判断其根的个数。　　

　　　　　　　

x

　　　　

y

　　　　

图10

　　　　　例4：判断方程：sinx－lgx=0的根的个数。　　

分析：方程化为sinx=lgx，分析函数y=sinx与y=lgx的图象交点个数就可以确定原方程根的个数。　　

解：原方程化为sinx=lgx，在一个坐标系中画函数y=sinx与y=lgx的图象（部分），如图10，显然函数y=sinx的图象有三个交点。　　

∴方程sinx=lgx有三根　　

∴原方程有三根　　

例5：要使方程　 　　　有四个不同的实数根，求k的取值范围。　　

解法一：要使原方程有四个不同的实数根，必须k＞0，且　　

　　　　         ①　　

　　　　        ②　　

各有两个不同的实根。　　

　　　　　　　 　　　　

y=k

　　　　

1  2  3

　　　　

o

　　　　

x

　　　　

y

　　　　

图11

　　　　　对于①，由△　 　　　＞0，有k＞－2，但k＞0，所以k＞0时，　 　　　　　

对于②，由△　 　　　＞0，有k＜－2，但k＞0，所以0＜k＜2时，　 　　　　　

故0＜k＜2时，原方程有四个不同的实根。　　

解法二：原方程有四个不同的实数根，等价于函数y=k的图象与函数　 　　　的图象有四个不同的交点。　　

如图11所示，　 　　　的图象是图中的曲线，而y=k的图象图中平行于x国且在y轴上的截距为k的直线。　　

显然，当0＜k＜2时，函数和图象的四个不同的交点。　　

注：解法一是纯代数方法，思路自然，解法二借助了图形直观及图象间的关系，解答简捷明了。　　

数形结合解方程问题就是把方程整理成等式两边各能形成一个初等函数的新方程。在同一坐标系内画两个函数的图象。由图象的交点情况，就可以确定原方程根的情况。　　

3、数形结合分析一元二次方程根的分布。　　

一元二次方程的根，就对应着相应二次函数的图象与x轴的交点。一元二次方程根的分布，就是指相应二次函数与x轴的交点位置。　　

例6：已知方程x²－2ax+2a²－4=0中，a∈R，试根据下列条件，确定参数a的取值范围。①根都小于2；②根都大于4；③根在[2，4]之间；④两根都在[2，4]之外；⑤一根在[2，4]之间，另一根在[2，4]之外。　　

分析：方程的根的分布，就是二次函数图象与x轴的交点位置，要根据根的分布求a的范围，就是根据图象位置确定参数a满足的条件。　　

解：令f(x)=x²－2ax+2a²－4 （a∈R）　　

　　　　　　　　

x

　　　　

图12

　　　　

y

　　　　　

o

　　　　

·

　　　　

·

　　　　

|　　 2

　　　　

x1

　　　　

x2

　　　　　对称轴方程  x=a