让学生做学习的主人　　

              ——一堂没有结束的探究课　　

[案例背景]当前我县已全面进入了新课程改革实施阶段，数学的课堂教学方式已悄然变化，以学生为主体，教师为主导的“探索性课堂教学”就是其中之一。它通过教师创设情景，精心设计探索性问题，学生主动探索，再现知识形成过程，从而获取知识。这种教学方式能很好地促进学生自主学习，主动学习，尤其是学生的创新精神和实践能力等方面有着显著的效果。但同时它对老师要求高，如课堂上“意外问题”出现较多，要求老师应变能力要强，所以它也是一种不易把握的教学方式。在实际运用时，我们往往只注重形式，而对学生提出的问题常常简单处理，应付了之，从而失去良好的教育机会，导致收效甚微。以下案例是我在运用探索性课堂教学的一次尝试，我所采用的教学策略及课外引导学生探索的做法，在此提供与同行们共同探讨。　　

[情景描述]“勾股数”是一节非常有趣的内容，www.czsxz.com它适宜采用“探索性课堂”教学设计。在课堂上我按照事先设计，组织学生学习了什么是勾股数，怎样去判断勾股数，并引导学生探索了构造勾股数方法，如倍数法象3、4、5为一组勾股数，则它们的倍数3k、4k、5k（k为正整数）也必是勾股数，也可用公式法构造：以m²+n²,m²-n²,2mn(m﹥n且均为正整数)为公式，任意选取m、n一组值代入上述三式就可得到一组勾股数。就在我的原定计划中课堂即将结束时，忽然陈昇同学像发现新大陆一样叫了起来：“老师，我发现了勾股数的一个规律，两个大的勾股数相加除以最小的勾股数一定能整除”。　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　？”这真是一石激起千层浪，“意外问题”引起了同学们的激烈讨论。赞同的，反对的，不一定的，不以为然的……很快同学们进行了一些特例验证：　 　　　，成立；　 　　　，成立；　 　　　，成立；　 　　　，成立；……把书上的勾股数找了个遍，一段时间后，赞同的同学越来越多，但仍有一些同学说不一定对，认为只是还没有找到不成立的勾股数。这时，下课铃响了，他（她）纷纷朝老师看，习惯性地等待老师宣布答案。（说实在的，此问题以前未曾遇到，自己一时也拿不出答案来，但凭自己的教学经验知道，这是一个很好的引导学生探究学习的机会，必须慎之，暂缓判断，否则机会稍纵即逝）。于是我严肃地说：“陈昇同学善于发现问题，很有数学眼光（鼓励学生很必要），值得同学们学习，但是，判断一个结论正确与否，我们不能凭取几个特例验证就可判断的，必须根据学过的公理，定理或公式等去说理才行。现在，老师先不说“答案”，课后你们再去探索，比一比，谁先探索出来，明天上课我们见分晓！”（留下悬念，激发学生探知欲）下课后，我看见很多学生不休息仍在位子上饶有兴趣地探索，现在的学生真有钻研精神啊！　　

第二天上课，我现发陈昇同学很沮丧，原来是已有同学找出反例20、21、29就没有　 　　　为整数的结论了，大家否定了他的发现。我知道如果就此结束这问题探索，真是太草率了，学生的探索劲头才刚刚激起啊！绝不能罢休！于是，我说：“虽然这个发现不正确，但有些勾股数却满足，你们能找出怎样的勾股数才有此结论吗？”（事实上，我自己也没有很好地去认真探索，只是凭数学感即兴说出来，看来新教材要求师生教学相长，一点不假啊！）没想到学生还真来劲了，特别是陈昇同学精神为之一振，立刻又动手去探究了。然而，学生们感到迷惘，不知从何处着手？我提醒说：“你们课后几个同学可组成探究小组一起进行，三个臭皮匠顶个诸葛亮吗！”　　

这天下午，陈昇等几个喜爱数学的同学特地来到我办公室，讨教如何探究，我说：“你们已研究出多少了？说来听听？”陈昇说：“我们知道，3、4、5能行，因此它们的倍数3k、4K、5K也一定能行。”我说：“厉害，有些眉目了。”从构造勾股数方法着手，思考方向是正确的，学生的做法也提示了我。于是我又说：“按构造勾股数的公式m²+n²、m²－n²、2mn去试过吗？”学生说：“没有。”“你们可把m、n分奇，偶数去探究试试看。”经这一提醒，学生好像有些思路，于是又去探究了。　　

到第四天上课，陈昇同学说他找到了。同学们很惊奇，他说：“按照公式m²+n²、2mn、m²－n²，若m、n都是偶数或奇数一定行，若是一奇一偶就不成立。”同学们都投去赞赏的目光，我也很欣慰，姑且不论其正确，这钻研精神确实可佳。一定要好好利用这一机会教学生学会如何去探究，于是我说：“陈昇同学真是一个小数学家，大家都应该向他学习这种可贵的钻研精神，我建议把他发现的这个结论取个名字好吗？”“好！”大家异口同声地说。“陈氏定理”一同学马上脱口而出：“行，就这么定了，同时我们也要求他把发现的结论包括过程用书面方式写一篇小论文好吗？”陈昇同学也很爽快答应了，下周交给老师。（因为今天是周五了）这真是有意义的一周，我也要趁这个周末好好研究一下。　　

下周一早上，陈昇同学很高兴地把他的小论文交给了我，下面就是他的“论著”。　　www.czsxz.com

我在勾股定理中发现一个规律——把　 　　　肯定能整除。于是我从书本上开始验证，发现能符合的都是勾股数。（思维的发散，学生的创新由此开始）。我便开始自造勾股数来验证，在《同步练习》上有个公式能造勾股数（m²-n²）²+(2mn)²=(m²+n²)²,（活用知识，是知识积累的必然结果）即把它变为：　 　　　必整除。我依次代了很多数验证。在此我还发现（学生探究能力逐渐增强），如果设m、n都为偶数，那么代入任何两个都能成立，如果设m、n都为奇数也符合；如果设m为偶数、n为奇数就不能符合，如果设m为奇数、n为偶数也不能符合；如果m为偶数、n为奇数且m=2n也能成立。　　

真不简单啊！（虽然是不完整的结论，事实上，结论没有探索过程重要）我非常地肯定了他，并再次表扬了他。我说，老师也足足用了一个下午，也同样从公式m²+n²、2mn、m²－n²着手。现在我也把探究的结果展示给同学们。“不妨设m＞n、则㎡+n²必为斜边，m²－n²和2mn哪个是股哪个是勾呢？这就要比较m²－n²和2mn大小了。分两种情况：（适时渗透分类思想，扩大学生知识面）　　

①当m²－n²＞2mn时，则　 　　　=　 　　　，只要m是n倍数就可行，可设m=kn，则勾为2k，股（k²-1），弦（k²+1）；由此产生的勾股数都成立。②当2mn＞m²－n²时，则　 　　　=　 　　　=　 　　　，只要（m+n）是（m-n）的倍数就行，同样可设m+n=k(m-n)，即m=　 　　　，同样可得勾为2k股k²-1，弦k²+1也成立，综合以上可有结论：在k≥2整数时，由2k、k²-1、k²+1构造出的勾股数必有　 　　　为整数。”　　

在师生的共同努力下，终于有了明确的结论，同学们都会心的笑了，特别是陈昇同学感到非常成功。一同学深有感触地说：“原来要这样学数学的，学数学还蛮有意思的。”

[案例反思]对陈昇同学的“意外问题”，在历时一周的探索后终于获得了解决，然而不由得我不认真反思：新教材倡导创新教育，师生教学相长，这一理念如何去开展呢？从这一案例中，我深深地感到探索性课堂教学正是能很好的体现这一理念，这不但是学生产生思维火花的导火线，也是促进我们教师教学能力提高的好平台。　　

反思本案例，我觉得自己较为成功的做法是：　　

（一）要慎重对待学生的意外问题。因为这是学生创新思维的火花，稍纵即逝。本案例中的意外问题：　 　　　=整数就是火花必须留住它，紧紧抓住这一教学良机。　　

（二）要创造机会让学生去探究，去表达自己。　　

只有学生本人去探究，去表达才是真正的学习，过程才是最重要的，而结论是其次的。本案例中的几次引导学生探究就是基于这一点思考，从而才有陈昇同学多次表达。但他的结论正确与否并不是关键。　　

（三）要适度引导学生课外探究，并自己也要积极参与学生探究。　　

因为学生的探究能力毕竟有限，当他们出现迷惘时，我们老师就要引导学生如何去思考，去探索，从而使他们能继续探究学习下去，其次自己也要积极参与学生探究，并与学生互相交流结果。本案例中师生就做到了互相交流、探究的结果，充分体现了新教材所倡导“师生互动、教学相长”的理念。　　

另外存在的困惑是：事实上，学生探究能力很薄弱，能真正地探究的学生终归是少数优秀学生，老师如何适度引导较难择决，如何能使更多的学生去提出问题并参与探究呢？这是值得我们深思的问题。过度引导会造成学生缺乏思维上的主动性，那就不是真正意义上的探究教学了。　　

但不管怎样，我们坚信新教材的教学就是要让学生提出问题，让学生畅所欲言表达自己，让学生动起来参与探究，让学生做学习的主人……从而使探索性课堂真正的成为我们师生教学相长的良好平台。