课堂实录  一堂没有完成计划的课

不可小看我们的学生，特别是这些在课程改革的全新理念下熏陶出来的充满探索精神和活跃思维的学生们。虽然只有短短的不到一年的时间，但他们却已经一改以往那种死气沉沉的感觉。他们四射的活力挑战着老师的“权威”；他们对数学的感悟已经不仅限于课堂；他们身上充盈着的不安分的细胞，他们头脑中跳动着的聪颖和睿智，会在任何一个你不经意的时刻，猝不及防地跃然而出，令你惊喜之余欣然喟叹！

    这份感觉我时常享受，不久前的一节习题课上，我又一领略。

义务教育课程标准实验教科书《数学（七年级·下册）》（北京大版）复习题第154页B组第1题是这样的：

一个零件的形状如图1—9，按规定∠A应等于90°、∠B、∠D应分别是20°和30°，李叔叔量得∠BCD=142°应断定这个零件不合格，你能说出道理吗？

记得原来的教材上也有这道题，以往多次与它相遇，都是一带而过，从没有引起我的注意，没想到这一次它却“大放异彩”。

这是一节下午的课，考虑到学生可能不如上午的精力旺盛，B组题也有一定难度，我决定选出其中的1题、2题及C组题，做适当提示、讲解，以免为难学生。

对上面这道题，我早已想好了方法。延长DC交AB于E，利用三角形内角和定理，求出∠DCB的度数，问题迎刃而解。因为南非要添加辅助线，我想，这些初学几何，甚至对推理都不作要求的刚入门的学生一定面对此题束手无策。

我先引导学生看一遍题，然后提问：

李叔叔量了∠BCD=142°，就知道零件不合格，那么，合格的度数是多少呢？这个问题相当于要计算哪个角的度数呢？

很快有学生回答：合格的度数应根据计算∠BCD的度数后决定。

我再引导学生：将测量零件角的问题暂时    开，在现有条件（∠A∠=90°，∠B=20°，∠D=30°）下，如何求∠BCD的度数？大家先考虑、讨论一下，我们再来探讨。

学生讨论非常热烈，教室里很“吵”。

“老师，我，我找到了”。一个学生涨红着脸，眼睛放出光芒，急促地说。这个学生平常对人有些“冷”，言语不多，她叫曾云滢。考虑到她难得举手，虽然我所认为的“时机”还未成熟，我还是珍惜曾云滢这难得的举手，我立刻向全班叫了“暂停”，全班立时安定下来。曾云滢大步走上讲台，拿起我的三角板，“哧”！麻利地画了一条线，连结BD。

这倒出乎我的意料，且看她如何说明。

连结BD,则∠ADB+∠ABD=90°,而∠ADC+∠ABC=30°+20°=50°，所以∠CDB+∠CBD=90°－50°=40°，所以∠DCB=180°－40°=140°，因此标准尺寸应是140°，142°不符合要求（如图1—10）。

嘿，干脆利落，简单明了，我不禁暗暗叫绝，一阵掌声响起，说明大家明白并且认同了她的思路。

“我还有一种办法”。一个清脆的女声，是歌唱得不错的任韵晨，我立刻请她上来。

这一次和我预想的解法一样，延长BC交AB于E，（见图1—11），则

AEB=90°－30°=60°，∠CEB=180°－60°=120°，

∠BCE=180°－120°－20°=40°，故∠DCB=140°，所以142不符合要求。

大家仍然连声称赞：“这个方法也很好”。

经过这两位同学的“爆炒”，大家开始“头脑发热”，第三个同学“腾”地站起来，“我来，更简单。”

“我什么线也不连。如图1—12，因为ABCD是个四边形，四边形的内角和是360°，

360°－30°－20°－90°=220°，所以外面这个角是140°，所以142°不符合要求。

说话的男生黄炜，我一边听，一边猜想他怎么说明，谁知他真绝，竟然看出ABCD是个四边形，并且知道其内角和是360°！这种凹四边形平常很少碰到，连我这当老师的也没有意识到，难为他一个初一的学生竟然想得到。

观察全班，大部分人茫然，于是我首先肯定他的做法，然后解释一这个办法，一一分析。学生的眼神告诉我他们已明白，并由衷佩服黄炜。

“老师，我还有一种证法”。

“老师……”

此时时间已过去半节课，按计划我还有两道题要分析，可是这阵势，这气氛，这如林的渴望之手……我猛然意识到，打乱“计划”算什么，且让孩子们信马由缰吧，他们做得多好啊！

于是，小个子的候爵上来了。

“我连的线也跟曾云滢的一样，但是我的做法不同，我看到

如果∠DCB=142°，那么∠DBC+∠BDC就是38°，

那么，∠ADB+∠ABD=20°+30°+38°=88°，

那么，三角形ABC的内角和就是90°+88°=178°，

这不符合三角形内角和是180°，所以∠DCB是142°不符合要求。”

“真聪明！”我不禁赞叹，虽然侯爵的方法与曾云滢的方法其实一样，只是叙述方式不同已，但其逆向思维的能力很令人赞赏，这些其实他自己根本没有意识到。于是，我却像喝了一杯醇酒一般，又醉了几分；于学生，又推开一扇窗，我看到学生频频点头。

“还有吗？”我又问，学生面面相觑。

“我还有。”说话的是阮弘皓，“班嘴”，很有口才。

“我可以延长BC到E，E在AD上。”

这一次说错了话，我纠正他她：“延长BC交AD于E（如图1—13）。”

“我可以证明∠AEB=90°－20°=70°，则∠DEC=110°，

所以∠DEC=180°－30°－110°=40°，所以∠ DCB=40°。

阮弘皓讲完了。

“和任韵晨的一样”，大家纷纷议论。

“方法的确一样，不过延长线不同。我们不妨也作为一种方法吧，好吗？”我说。

大家纷纷点头。

看来是山穷水尽了，已经够丰富了，数一数，已有和6种方法，我事先可没想到这么多，我已经很满足了。看看时间，离下课也只有五分钟了，总结一下，可以收场了。

“老师，我又找到一种。”是爱琢磨，但不爱作声的何纯。

他添加的辅助线很特别（如图1—14），如何说明呢？

“我作的DE//AB，CF//AB，我们可以知道DE//CF，然后我可以得出：

∠FCB=20°，∠EDA=90，然后∠EDC=90°－30°=60°，然后，然后……“

何纯一紧张，不知下一步如何说明了，脸涨得通红。这时教室里的一只只手已经雨后春笋般高高举起。我说：“何纯一定是在下面想好的，但是一上来紧张了，想不起来了。没关系，再想想，先回座位，好吗？龙颖来帮何纯一下”。

龙颖走上讲台，思路清晰。

“我们知道这三条线平等，所以有∠FCB=∠ABC=20°，

∠EDC=90°－∠ADC=60°，∠DCF=180°－60°=120°

所以∠DCB=∠DCF+∠FCB= 120°+20°=140°

所以142°不符合要求。∠∠ ”

7种方法！

整整一节课，只解决了一个题，何其少矣！何况还打乱了我原定的计划，确实有些遗憾。可仔细一想，这节课的收获又何其大也！孩子们是这样乐于讨论数学问题，这样痴迷在他们的数学世界里，这样勇敢而大胆地表述他们的思维结果，这样真诚地为同伴的聪颖而赞叹。这是一种多么可贵的气氛！其意义又何止解这一道题！如此看来，我还有什么遗憾的呢？

我归纳了8位同学上讲台叙述的7种证法，比较了他们各自方法的异同，并鼓励学生：对待问题就要像这样寻找多种证法。并坦言，我一个人想不出这么多方法。三个臭皮匠，顶个诸葛亮，你们是多么聪明啊！今天课后大家归纳，按“国际惯例”，将他们的证法以他们各自名字命名，大家写在文稿纸上，明天交来吧。

第二天，我收到了66份叙述完整的一题多证。

聪明的学生，聪明的孩子们！这一节课，是孩子们用他们的智慧构建了一个美丽的金碧辉煌的数学殿堂。所有思考都出自他们自己的大脑；所有的意料之外都令人拍案称绝！孩子们用他们的纯真、聪颖、睿智和强烈的探索欲望，给我这个与初中数学教学打了十九年交道的“数学老师”结结实实地上了一堂课。

我们相互都是对方的老师。

教学反思：

这的确是一堂完全出乎我意料之外的课，这里的记录的全部内容没有任何加工的成分，纯属课堂实录。经过一年的新课程学习，我的学生们已经习惯了多思、善疑、不迷信，什么事都要问个为什么，都要多找几条路，并且敢讲、爱讲、善辩、爱争论，这对老师驾驭课堂的能力提出了更高的要求。上完这堂课后，我一方面欣喜于我的学生们的活跃，陶醉于自己平常教学中有意识引导收到的课改的良好机遇而庆幸，比起我们的师哥师姐们来，他们显然具有更强的应对挑战的能力，感谢课改！同时，我也意识到，如果我事先能预先可能发生的情况，事先有所准备，效果可能会更好；另外，作为一个一线教师，每天都在接触学生，每天都在发生着许许多多的故事，为什么不多作一些记录呢？它们都是宝贵的资料啊！一节课虽然平常，却有着深厚的背景，他们确实应该多多挖掘，不断提高自己的水平，将课改的理念渗透得更好。

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